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02矩阵

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矩阵乘法满足{c1:分配率, 结合率}
不满足{c2:交换律, 消去律}

现有矩阵A与列向量alpha
{c1:}={c2:}

转置

转置的性质
{c1:}
{c2:}
{c3:}
{c4:}
{c5:}

Q: 判断下列命题，并写出关键条件或理由：。
A: 转置矩阵存在秩保持定理

对称矩阵与反对称矩阵的定义设 为 阶矩阵, 若 则称 为实对称矩阵. 若 , 则称 为反对称矩阵

逆

逆的性质
{c1:}
{c2:}
{c3:}
{c4:}
{c5:}

阶矩阵 可逆的充要条件

  1. {c1:}
  2. {c2:}
  3. 的特征值{c3:均不为零}

Q: 一个 的矩阵 , 在什么样的情况下
存在左逆 使得
存在右逆 使得
A: 左逆 : 矩阵 为列满秩矩阵
右逆 : 矩阵 为行满秩矩阵

逆的求法
逆的定义: 或
初等变换法: 初等行变换{c1: }或 初等裂列变换{c1: }
伴随矩阵法: {c2: }

分块矩阵的逆设 为 阶可逆矩阵, 为 阶可逆矩阵, 则
{c1: }
{c1: }

Q: 分块矩阵的秩
现有 阶矩阵
什么条件下成立?
A: 的列向量组可以由 的列向量组线性表示,即
或者
的行向量组可以由 的行向量组线性表示,即

秩

阶子式的本质是{c1:行列式}
在 阶矩阵 中任取 行与 列 ( ),
位于这些行与列的交叉点上的 个元素构成一个 阶行列式, 称为 的一个 阶子式

Q: 秩的原始定义 (子式角度)
A: 最大的非零子式的阶数

Q: 加边法定理描述
A: 矩阵 中有一个 阶非零子式 , 并且所有包含 的 阶子式 (即”加边子式”) 都等于 ⇐>矩阵 的秩就等于 .
为充要条件

零矩阵的秩为{c1:零}

若矩阵 有个 阶子式非零, 则 {c1:}
若矩阵 所有的 阶子式均为零, 则 {c2:}

{c1:} {c2:}

满秩的定义
设 为 阶矩阵,
若 , 则称 为{c1:行满秩}矩阵
若 , 则称 为{c2:列满秩}矩阵
设 为 阶矩阵, 若 , 则称 为{c3:满秩}矩阵

设 为 阶矩阵, 则 {c1:}

设 为 阶矩阵, 则
{c1:}

对于一个 矩阵 和一个 矩阵 , 有
{c1: } {c1: }

Q: 对于一个 矩阵 和一个 矩阵 , 有

当 时, 是否成立?
A: 仍然成立
即使是列向量

{c1: } {c1: }

行满秩与列满秩的秩保持定理
为 阶矩阵
若 ,则 {c1: }
若 ,则 {c1: }

Q: 为什么行满秩与列满秩的秩保持定理成立?
为 阶矩阵, 为
若 ,则
若 ,则
A: 以 ,则 为例
为列满秩矩阵, 形如
形如
可以视作, 矩阵右乘 , 即对 进行列变换

, 可以视作以 为基进行 线性变化之后得到的向量
自然

设 为 阶矩阵, 为 阶矩阵, 满足 ,则 {c1:}

为 n 为非零列向量

{c1:}

秩一矩阵的特殊性质

的 n 阶矩阵 A (秩一矩阵) 的特点

  • 有{c1: n-1}重特征值{c1:0}(仅在 成立)
  • 唯一非零特征值等于{c1: }
  • {c2: }

伴随

伴随矩阵的形式
设 阶矩阵 , 为 的伴随矩阵
{c1:}

{c1:}
{c2:}
{c3: }
{c4:}
{c5:}
{c6:}
{c7:}
{c8:}

Q: 恒等式 对 的可逆性有什么要求？
A: 不要求 可逆；对任意方阵都成立。
即不论 是否为可逆矩阵 恒成立

上标运算的{c1:可交换性}
线性代数是中上标运算可以交换
上标有 , 高次, 幂, 转置, 逆, 伴随

对于非零 n 阶矩阵 有
且为正交矩阵

Q: 对任意 阶方阵 ， 与 共同等于什么？
A: ；不要求 可逆。

初等矩阵

初等矩阵的定义
单位矩阵 经过一次{c1:初等变换}所得到的矩阵称为初等矩阵

三种初等变换对应三种初等变换矩阵:
{c1:两行 (列) 交换} 记作 {c2:}
{c3:某行 (列) 乘以非零常数 } 记作 {c4:}
某行 (列) 乘以非零常数 后, 加到其他行列记作 {c5:}

的左乘与右乘
左乘: {c1:对行操作第 行乘以 , 加到第 行}
右乘: {c2:对列操作第 列乘以 , 加到第 行}

初等行变换为{c1: 左乘}(左乘/右乘) 相应的初等变换矩阵
初等列变换为{c1: 右乘}(左乘/右乘) 相应的初等变换矩阵

可逆矩阵的初等分解定理
可逆矩阵可以写成有限个{c1:初等矩阵}的乘积

初等变换矩阵的性质
{c1:}
{c2:}
{c3:}

Q: 左乘一次初等矩阵后，行列式如何变化？
A: 恒有 ，但不一定保持原值 ：


等价

Q: 矩阵 等价的初等变换充要条件
A: 1. 同形
2. 可以经过有限次初等变换变为矩阵

Q: 矩阵 等价的代数充要条件
A: 1. 同形, 为 阶矩阵
2. 存在 阶矩阵可逆矩阵 与 阶矩阵可逆矩阵 , 使得

Q: 已知矩阵A与矩阵B
若AP=B.且P可逆,如何计算P?
A: 视作多个Ax=b一起计算
联立,化为行最简型

Q: 矩阵 等价的秩充要条件
A: 1. 同形, 为 阶矩阵
2.

Q: 为什么 为 阶矩阵 ,若 , 则 与 等价
A: A, B 为同形矩阵, 并且 可知主变量的个数相同
对 B 矩阵进行初等行变换与初等列变换, 可以得到 A 矩阵
即
符合矩阵等价的定义, 与 等价

关系图谱