06二次型

二次型

Q: 二次型, 标准形, 规范形之间的关系
A: 任意的二阶多项式都可以写成二次型
对角化之后的二次型, 是标准形
对角线上的系数为 1,-1,0, 为规范形

标准形

Q: 标准形的定义
A: 只含平方项的二次型
即

Q: 二次型转换为标准形的三种方法
A: 1. 拉格朗日配方法
2. 正交变换法
3. 合同变换法

Q: 如何利用拉格朗日配方法, 将二次型转化为标准形? (有平方项)
以三元二次型 为例
A: 1. 收集所有与 有关的项
2. 凑平方
3. 展开计算
对 继续上述三步操作, 直到全部化为平方形式

引入

Q: 如何利用拉格朗日配方法, 将二次型转化为标准形? (无平方项)
以三元二次型 为例子
A: 根据交叉项 , 引入 , 构造出平方项 ,

变为使用拉格朗日配方法将有平方项的二次型转化为标准形问题

Q: 二次型使用正交变换法的过程
A: 求特征值
求 个线性无关的特征向量
将特征向量施密特正交化

Q: 为什么二次型可以用正交变换法, 转化为标准形?
A: 二次型

为实对称矩阵, 实对称矩阵一定可以正交对角化

规范形

Q: 规范形的定义
A: 系数为 的标准形
即 , 其中

合同

如何判断两个矩阵是否合同
实对称矩阵, 正负惯性指数相同

合同的定义
设 A, B 为 n 阶实对称矩阵
若存在 n 阶可逆矩阵 C, 使得 成立
则称 A 与 B 合同

合同

若矩阵 A 可以通过正交矩阵 Q, 使得 , 那么 A, B 之间是什么关系
合同且相似

正定

Q: 如何用行列式判断对称矩阵 A 是否是正定矩阵?
A: 矩阵 A 的所有顺序主子式都大于零

对称矩阵 A 所有顺序主子式都大于零是正定的{充要}条件

证明矩阵 A 为正定矩阵常用的两个方法

1. 正定矩阵的定义:
2. 特征值大于 0: 对于 A 特征值 , 恒有

A 为正定矩阵, 那么

如果 为 阶正定矩阵, 那么 A 一定与{E}合同
并且存在可逆矩阵 C 使得,{}

矩阵 C 为某个列满秩矩阵
是 为阶正定矩阵的{充要}条件

若 为 阶正定矩阵, 则 也为正定矩阵

若 A 为 n 阶正定矩阵, 则下列矩阵均正定

正定矩阵分解定理
对于 n 阶正定矩阵 A, 对于任意正整数 , 存在 n 阶正定矩阵 B, 使得

Q: 什么条件下 必定是一个正定矩阵?
A: 矩阵 P 列满秩

A 为正定矩阵的充要条件

1. A为{实对称}矩阵
2. A特征值{>0}