03一元函数微分学的概念

Q: 导数的定义
A: 设 定义在区间 上, 让自变量在 处加一个增量 (可正可负), 其中 , 则可得函数的增量 .若函数增量 与自变量增量 的比值在 时的极限存在, 即 存在, 则称函数 在点 处可导, 并称这个极限为 在点 处的导数, 记作 , 即

可导必连续的证明
假设函数 在区间 上可导. 我们将证明 在该区间上是连续的.
我们可以利用可导函数的极限定义. 根据可导的定义, 可知, 在定义域 内存在导数

而根据连续的要求, 左右极限与函数值相等, 即

可以变化为

得证

某点导数存在的充要条件
存在 其左导数 与右导数 均存在且相等. 这一点当然是与极限存在的充分
必要条件 (左、右极限均存在且相等) 对应.

某点导数存在的充要条件
存在 其左导数 与右导数 均存在且相等. 这一点当然是与极限存在的充分
必要条件 (左、右极限均存在且相等) 对应.
这里的左右导数是解析解吗?
不是
这里的左右导数是极限解

这就要求 必须有定义, 不然不存在导数

Q: 导数定义的本质是一个什么问题
A: 从本质上来说, 导数的定义就是一个极限问题. 极限存在则导数有定义.

可导{必}连续, 连续{不一定}可导

Q: 可导与连续谁的条件要求更强?
A: 可导的条件比连续更强, 可导要求函数是平滑的, 而连续则不对函数是否光滑做出要求.
例如 于 处, 函数连续, 但是不光滑, 不可导

函数 不可导与可导的证明首先要做的是判断函数的连续性

函数 不可导与可导的证明
先判断连续性再判断可导性

• 不可导证明:
  先证明连续再证明不可导
  要证明连续条件下的不可导, 只要证明, 左右导数不相等.
  
  
  同理
  
  得证
• 可导的证明:
  先证明连续, 再证明可导
  可导的证明只要看所求点的左右导数是否相等
  
  如果 与 的条件下, 极限相同则可导

周期函数求导, 导函数{周期性}{不变}

Q: 有界函数的导函数一定是有界函数吗?
A: 不一定
考虑存在震荡间断点的有界函数
其导函数在震荡间断点附近往往是无界的

Q: 导数结果为无穷的处理
A: 无穷导数视作导数存在的特殊情况, 但在高等数学的范围内不进行讨论, 当作不存在导数即可
例如 , 于 处, 左右导数为 , 存在且相等

证明如果 在点 处有二阶导数, 则 在 的某个邻域内有一阶导数且 在 处连续

可知 于某邻域内有定义
连续证明

左右一阶导函数极限相等

某点有 阶导数确定该点邻域内低阶导存在
如果 在点 处有 阶导数, 则 在 的某个邻域内有{}阶的各阶导数

Q: 可微的概念
A: 设函数 在点 的某邻域内有定义, 且 在该邻域内, 对于函数增量

若存在与 无关的常数 ,使得 ,
其中 是在 时比 更高阶的无穷小, 则称 在点 处可微, 并把增量的主要部分 称为 线性主部, 也叫作 在点 处的微分 , 记

判断某个一元函数是否可微
三步走
第一步 (快速排除): 检查函数在该点的{连续性}. 如果不连续, 直接判定不可微.
第二步 (选择方法):
如果函数是普通函数 (非分段、无绝对值), 直接{求导}, 看导函数在该点是否有定义.
如果函数是分段函数, 在分段点处, 计算{左右导数}, 并判断它们是否相等.
第三步 (终极手段): 如果以上方法都难以操作, 回到最根本的定义, 即判断 {} 是否存在

判断 是否能被省略, 即判断能不能直接用线性主部 代替复杂的实际增量 , 用简单量代替复杂量误差是否可以忽略
是否等于

对于一元函数, 可微与可导{等价}