08一元函数积分学的概念与性质

Q: 为什么不定积分 (原函数) 这么强调定义域,
而定积分不怎么强调定义域?
A: 不定义积分与定积分的概念有所不同
从不定积分 (原函数) 的定义看, 要求区间内任意一点都有 成立. 一但区间有问题, 就不符合定义.
定积分计算的是面积. 不要求区间内任意一点都有 成立, 条件相对宽松

原函数 必然可导, 意味着 {必然连续}.
连续决定了, 即使是 为分段函数, 分段点为 , 在定义的区间上仍然有

注意这里是原函数, 不是变限积分, 性质有所不同

原函数 (不定积分) 存在性定理 (1)
连续函数{必有}原函数

Q: 如果函数 在 上连续, 则变限积分 在 上可导吗?
A: 可导, 且 等于

证明如果函数 在 上连续, 则函数 在 上可导, 且 , 涉及到定积分几何意义, 定积分四则运算, 中值定理, 夹逼准则, 分类讨论
显而易见, 为 与 轴围成的一部分面积,

对于 的情况

对于 懒得写
对于 懒得写

Q: 为什么连续函数于闭区间上必可积
A: 事实上, 函数于闭区间内连续, 就一定是有界的
例如 在 处不连续,
闭区间取不到 的位置
那么于 上 (), 必有界

函数 在 上可积, 则原函数 在 上{连续}

黎曼积分的框架下, 变限积分存在与 {可积}等价

Q: 可导, 连续, 可积, 有界的联系
A: 可导必连续, 连续必可积, 可积必有界
反过来就不行了

Q: 有界必可积吗?
A: 错误的, 有界并不是充分条件, 只是必要条件
以狄利克雷函数为例子

Q: 为什么有界是可积的必要条件, 不是充分条件
A: 必要性: 可积是黎曼可积, 要求被积函数有界
非充分性: 以狄利克雷函数为例子, 有界但是不可积

黎曼积分存在 (定积分存在) 的两个必要条件

• {积分区间有限}
• {被积函数有界}

可积是指{黎曼}积分{存在}, 原函数, 反常积分{不一定存在}

函数 在 上可积, 则变限积分 在 上连续证明
可积指的是能够进行定积分运算, 定积分存在的必要条件是函数有界
用函数的有界性证明

得证

Q: 对于可导函数
有界区间上 有界, 有界吗?
无穷区间上 有界, 有界吗?
A: 有界区间上 有界, 则 有界
无穷区间上 有界, 则 可能有界, 例如 , 无界, , 有界

Q: 为什么对于可导函数
有界区间上 有界, 有界?
A: 证明

原函数 (不定积分) 存在性定理 (2)
根据间断点判断原函数情况
有{第一类间断点}或者{无穷间断点}的函数 {必没}有原函数
有{振荡间断点}的函数 {可能}有原函数

可导函数 求导的结果 可能是{c1: 连续函数}也有可能是{c1: 震荡间断点函数}

Q: 数列与定积分的转化, 找可爱因子
A: 将一个数列形式的式子转化为定积分的形式
找到四个关键

4. 的范围 定积分的积分区域
   

Q: 积分的保号性
A: 若在区间 上, , 则有 , 只有在 恒 时候才会取到

Q: 积分的估值定理
A:

Q: 积分中值定理
A: 设 在区间 上连续, 则在 上至少存在一点 , 使得

Q: 从几何的角度理解积分中值定理
A: 将原来的面积变为一个矩形的面积

拉格朗日中值定理证明积分中值定理
定理 (积分中值定理): 如果函数 在闭区间 上连续, 则在 内至少存在一点 , 使得:

证明:

1. 构造辅助函数.
   令 , 其中 .
2. 验证拉格朗日中值定理的条件.
   • 因为 在 上连续, 根据微积分基本定理, 变上限积分函数 在 上是可导的, 其导数为 .
   • 一个函数在区间上可导, 则它必然在该区间上连续. 因此, 在 上连续, 在 内可导.
   • 至此, 满足在区间 上使用拉格朗日中值定理的所有条件.
3. 应用拉格朗日中值定理.
   根据该定理, 在开区间 内至少存在一点 , 使得:
   
4. 代入并化简.
   • 根据 的定义, 我们有 .
   • 同样地, .
   • 根据第 2 步的结论, 我们有 .
     将这三项代入上面的等式, 得到:
     
     即:
     
5. 结论.
   由于定积分的值与积分变量的符号无关, 我们可以将 写成 :
   
   证明完毕.

Q: 定积分的值与字母无关说的是什么
A: 当定积分存在时, 换自变量对定积分的结果没有影响

定积分存在定理的充分条件
若 在闭区间上{连续}, 则积分存在
若 在闭区间上{单调}, 则积分存在
若 在闭区间上{有界}, 且只有{有限个间断点}, 则积分存在

Q: 于 上有界, 但不连续, 有可能有定积分吗?
A: 连续性并不是必要条件. 有限个间断点, 且有上下界的不连续函数也有定积分

“可积的”, 通常是指这个函数在某个区间上可以计算{定积分}.

Q: 定积分与原函数的区别
A: 原函数是从函数角度求解, 但大部分函数都是没有原函数的. 只有少部分能够满足原函数存在定理.
定积分则超出了函数角度, 而是从面积来看, 不论一个函数是否有原函数, 只要他连续且有界就一定有与 轴围成的面积

在 处的连续性与可导性
若 是 唯一的跳跃间断点,于该点,{连续}, {不可导}, 且
若 是 唯一的可去间断点, 于该点,{连续}, {可导}, 且 , 但是

Q: 为什么不论在这点是跳跃间断点,还是可去间断点,还是震荡间断点,都有
在 处连续?
A: 要证明 在 处连续，即证明这等价于证明

因为 f(x) 在 x₀ 处只有一个跳跃间断点，所以在包含 x₀ 的任意一个小的闭区间内，f(x) 是有界的。即存在一个常数 M > 0 和 δ > 0，使得对于所有 t ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ)，都有 |f(t)| ≤ M。
现在，我们考虑极限 lim(x→x₀)。我们可以只看 x 在 (x₀ - δ, x₀ + δ) 内的情况。
根据定积分的基本性质：

因为 |f(t)| ≤ M，所以：

于是我们得到不等式：

当 x → x₀ 时，|x - x₀| → 0，所以 M \cdot |x - x₀| → 0。
根据夹逼定理 (Squeeze Theorem)，我们得出结论：

这也就证明了 lim(x→x₀) F(x) = F(x₀)，即 F(x) 在 x₀ 点是连续的。T

Q: 如何理解若 是 唯一的跳跃间断点, 则 在 处不可导, 且
A: 跳跃间断点性质

由于 可能是从左边靠近也有可能是从右边靠近
而从不同方向靠近, 的结果有所不同
但是极限具有唯一性, 不同的 显然违背了唯一性, 自然极限不存在, 于 点不可导
且左右的极限为 与

Q: 与 关于 点对称吗?
A: 不对称

正负无穷不是一个具体的实数, 而是一群无穷大的数组成的集合.
只有

这时候, 积分区间是无穷大且对称

Q: 什么是瑕点? (反常积分概念)
A: 设瑕点为 , 被积函数 于 的邻域内 无界
, 瑕点为 ,
, 瑕点为 , 于此处无界振荡

Q: 判断积分敛散性时候, 出现多个瑕点怎么处理?
A: 一个积分中只能有一个瑕点, 如果有多个瑕点, 则进行拆分计算.
只有当每个小积分区间都收敛时, 整体才收敛

反常积分敛散性判断

瑕点为
寻找一个函数,使得
根据c的不同取值,与的敛散性,判断的敛散性

Q: 无穷区间的不等式缩放判别. 在 连续, 且 , 根据大小函数的敛散性互相判断
A:

注意⚠️ 比较判别法要求两个函数都要{}

• 非负函数的积分具有单调性, 只能单调增加. 这样才能判定, 大的收敛小的必收敛, 小的发散, 大的必发散
• 非负使得不存在积分抵消的情况. 如有积分抵消, 判别法可能不成立

Q: 敛散性除法极限判别
在 连续, 且 , , , , 根据 不同的情况判别
A:

Q: 被积函数无界的不等式缩放判别法, 在 连续, 瑕点 同为 , 并且 , 根据大小函数的敛散性互相判断
比较判别法
A:

被积函数无界的不等式缩放判别法, 在 连续, 瑕点 同为 , 并且 , , , 根据 不同的情况判别

敛散性判别究极无敌重要结论

为什么敛散性判别重要结论要用 作为分界线?
刚好就是发散还是收敛的分水岭
在 上比 低的收敛, 高的发散
在 上比 低的收敛, 高的发散

Q: 从接近速度的角度理解敛散性判别重要结论
A: 对于 来说, 最重要的就是看 时, 接近于 轴的速度. 速度快于 则收敛
同理
对于 来说, 最重要的就是看 时, 接近于 轴的速度. 速度快于 则收敛

Q: 对敛散性重要结论如何广义化? 对于 .
A:

由于 , 从速度的角度看 与 趋向 轴的速度相等, 速度相等自然就可以进行替换

Q: 对敛散性重要结论如何广义化? 对于 .
A: 由于 , 从速度的角度看 与 趋向 轴的速度同阶, 速度同阶勉强进行替换

因为敛散性, 奇偶函数有新的特点
对于偶函数, {}
对于奇函数, {}